Параллелограмм — это базовая геометрическая фигура с рядом важных свойств и признаков

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

В этой статье мы подробно расскажем о таком термине, как ПАРАЛЛЕЛОГРАММ.

С этой фигурой каждый из нас познакомился еще в школе – на уроках геометрии в 8 классе. Но если кто проболел в то время, прогулял занятия или просто не усвоил материал – мы поможем закрыть этот пробел.

Определение параллелограмма

Итак,

Параллелограмм – это геометрическая фигура, которая является разновидностью четырехугольника. У него противоположные стороны лежат на параллельных линиях, а соответственно, являются параллельными по отношению друг к другу.

Выглядит эта фигура вот так:

Это классический вид параллелограмма, который в учебниках приводят всегда в первую очередь. В данной фигуре сторона AD параллельна стороне ВС, а АВ параллельна CD.

Интересно, что более известные всем нам фигуры – квадрат, прямоугольник и ромб – также являются параллелограммами.

Можно даже дать такие определения:

Квадрат – это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого стороны пересекаются под прямым углом, но при этом они не равны между собой.
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны между собой, но при этом они не пересекаются под прямым углом.

Происхождение термина «параллелограмм»

Как и многие термины в математике, слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММ пришло к нам из Древней Греции. И легко предположить, что оно как-то связано с самым известным в истории математиком – Евклидом.

Действительно, так и есть. Слово ПАРАЛЛЕЛОГРАММ впервые можно найти именно в трудах Эвклида, которые называются «Начала». Оно состоит из двух греческих слов – «Parallelos», что, естественно, означает «параллельный», и «Gramme» — «линия».

Таким образом, ПАРАЛЛЕЛОГРАММ можно перевести как «параллельные линии». Этот принцип и заложен в определении геометрической фигуры.

Еще любопытный факт, что именно Евклид поделил все четырехугольники на две большие категории. Первая – это параллелограммы, у которых противоположные стороны параллельны. И трапеции, у которых параллельна только одна пара сторон.

Свойства и признаки параллелограмма

Как понять, что перед нами ПАРАЛЛЕЛОГРАММ? Есть целый ряд признаков, который характерен только для этой геометрической фигуры.

Возьмем в качестве примера еще раз нашу фигуру:

Чтобы этот четырехугольник ABCD можно было считать параллелограммом, должно выполняться одно из следующих условий:

Две противоположные стороны попарно параллельны.
Две противоположные стороны попарно равны между собой.
Две противоположные стороны и равны, и параллельны. В данном случае можно брать только одну пару сторон.
AD II BC и AD =BC. Или AB II CD и AB = CD
Противоположные углы попарно равны между собой.
Диагонали пересекаются в центре фигуры и делятся точкой пересечения на две равные части.
Если сложить два соседних угла, то получится 180 градусов.
∠А + ∠В = ∠В + ∠С = ∠С + ∠D = ∠D + ∠А = 180

Это самые простые признаки параллелограмма. Есть еще некоторые признаки, смысл которых поясняется в этом видео:

Причем, для того чтобы удостовериться в подлинности фигуры, достаточно доказать только одно из них.

Правило действует и в обратную сторону – если хоть один из признаков параллелограмма верен, то автоматически верны и все остальные, и они не нуждаются в отдельном доказательстве.

Соответственно, если хоть один признак не получил подтверждения, то фигуру нельзя считать параллелограммом. И все остальное также не совпадет.

Как посчитать периметр параллелограмма

Для подсчетов длины периметра четырехугольников обычно просто складывают длины его сторон. Но в случае с параллелограммом все несколько проще, так как стороны у него попарно равны.

Снова возьмем для примера нашу фигуру:

Только для удобства обозначим стороны по-другому. AD и ВС будет просто «а», а АВ и CD – «b». Получится вот так:

Чтобы рассчитать периметр, надо просто сложить все стороны:

P = a + b + a + b

Но эту же формулу можно переиначить и по-другому:

P = 2a +2b

Или совсем просто:

P = (a + b) * 2

Это и есть формула периметра параллелограмма, которая записана во всех учебниках.

Как рассчитать площадь параллелограмма

С площадью геометрических фигур всегда чуть сложнее, чем с периметрами. Но параллелограмм в какой-то мере уникален, потому что для расчета его площади существует сразу несколько формул.

Вычисление площади параллелограмма по высоте.
Напомним, высотой называют линию, которая выходит из вершины геометрической фигуры и идет под прямым углом к противоположному основанию.
Вычисление площади параллелограмма по углам. Если известны длины сторон и хотя бы один угол, то можно применить следующую формулу.
Вычисление площади параллелограмма по диагоналям. Для этого надо знать не только длину диагоналей, но и величину угла между ними. И тогда можно применять следующую формулу.