Что такое аксиома

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Мало кто может сформулировать точный ответ на этот вопрос.

Зевая за партой на уроке геометрии, мы краем уха слушали о пифагоровых штанах и параллельных прямых, которым не суждено встретиться.

С тех пор утекло много воды. Пришло время освежить знания. Обещаю, скучно не будет.

Аксиома — что это

Термин образовался от греческого слова axioma – утверждение, положение. Википедия сообщает, что:

аксиома – это исходное положение теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

Толковый словарь Даля дает более простое определение:

аксиома — это «основная истина, очевидность, ясная сама по себе».

Такая трактовка термина отражает отношение древних греков к аксиомам.

В рамках современного научного подхода, аксиома рассматривается как некое фундаментальное положение, с которого начинается логическое доказательство. Она необязательно должна быть простой и понятной.

Аксиомы используют для доказательства теорем. В фундаменте каждой теории должно лежать исходное положение, которое считается истинным. Это основа, с нее начинается доказательство. Если бы аксиом не существовало, то цепочка логических обоснований уходила бы в бесконечность.

Например, мы утверждаем, что рыбы умеют плавать благодаря плавникам. Дальше будем задавать вопрос «почему», каждый раз требуя обоснования начального утверждения. Почему плавники помогают плавать? И так далее, пока не дойдем до того, что «вода — жидкость». Если не остановимся на этом, скатимся в обсуждения устройства вселенной, времени и материи. Цепочка бесконечна.

Аксиома позволяет разорвать цепочку обязательных доказательств путем принятия неких утверждений в качестве исходных и бесспорных (пляшем от печки).

Научное сообщество собралось, посовещалось и решило принимать выражение «А=B» как истинное, а тех, кто не согласен – предать анафеме и лечить в психиатрических больницах.

Легче всего понять социальные аксиомы. Вот вы покупаете бублики в магазине и отдаете за них деньги. Что такое деньги, по своей сути? Кусочки бумаги с напечатанными картинками и цифрами. Но весь мир условился считать, что такая бумага имеет ценность.

Это аксиома. Никто не требует доказательств. Каждый человек принимают этот факт как очевидный. В это верит покупатель бубликов, продавец, хозяин булочной, поставщики муки, иначе сделка бы не состоялась.

Аксиома действует в границах некоторой сферы, а за пределами – нет.

Вы взяли кошелек, набитый купюрами, и поехали в гости к приятелю из дикого племени Тумба-Юмба. Но никто не берет ваши деньги. Для туземцев – это просто бумажки, пригодные лишь для разжигания костра. Там в ходу бусы или зубы тигра, которые уже для вас не представляют интереса.

Аксиомы — это наследие далекого прошлого

Впервые термин использовал греческий философ Аристотель. Он называл аксиомой исходную предпосылку, фундамент, на котором держится доказательство.

Аристотель выделял 2 основные аксиомы:

1. Закон противоречия. Два высказывания, противоречащие друг другу, не могут быть одновременно истинными. Одно из них – ложное. Петя говорит, что яблоко стащил Коля. Коля указывает на Петю. Кто-то из них врет.
2. Закон исключенного третьего. Всякое суждение может быть либо истинным, либо ложным. Третьего – не дано.

Все эти положения очевидны и не нуждаются в доказательствах. Это правда, потому что правда.

Древнегреческий математик Евклид в работе «Начала» выделил утверждения, которые принимаются на веру без доказательств. Он разделял их на аксиомы и постулаты, но так и не объяснил, чем один термин отличается от другого.

В целом можно признать: аксиома и постулат – это синонимы.

В качестве примера приведу пятый постулат Евклида. Звучит довольно жутко: «если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 180°».

Не пугайтесь, значение этого постулата знакомо любому школьнику: «параллельные прямые не пересекаются». Нарисуем на бумаге две прямые линии параллельно друг другу. Если их продолжить, то они не сблизятся и не удалятся, и уж тем более не пересекутся.

Ученые предпринимали немало попыток представить это утверждение в виде теоремы, чтобы доказать или опровергнуть. Венгерский математик Янош Бойаи начал изучать пятый постулат и сошел с ума. Опровержение аксиом – опасная затея!