Что такое аксиома

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Мало кто может сформулировать точный ответ на этот вопрос.

Зевая за партой на уроке геометрии, мы краем уха слушали о пифагоровых штанах и параллельных прямых, которым не суждено встретиться.

С тех пор утекло много воды. Пришло время освежить знания. Обещаю, скучно не будет.

Аксиома — что это

Термин образовался от греческого слова axioma – утверждение, положение. Википедия сообщает, что:

аксиома – это исходное положение теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.

Толковый словарь Даля дает более простое определение:

аксиома — это «основная истина, очевидность, ясная сама по себе».

Такая трактовка термина отражает отношение древних греков к аксиомам.

В рамках современного научного подхода, аксиома рассматривается как некое фундаментальное положение, с которого начинается логическое доказательство. Она необязательно должна быть простой и понятной.

Аксиомы используют для доказательства теорем. В фундаменте каждой теории должно лежать исходное положение, которое считается истинным. Это основа, с нее начинается доказательство. Если бы аксиом не существовало, то цепочка логических обоснований уходила бы в бесконечность.

Например, мы утверждаем, что рыбы умеют плавать благодаря плавникам. Дальше будем задавать вопрос «почему», каждый раз требуя обоснования начального утверждения. Почему плавники помогают плавать? И так далее, пока не дойдем до того, что «вода — жидкость». Если не остановимся на этом, скатимся в обсуждения устройства вселенной, времени и материи. Цепочка бесконечна.

Аксиома позволяет разорвать цепочку обязательных доказательств путем принятия неких утверждений в качестве исходных и бесспорных (пляшем от печки).

Научное сообщество собралось, посовещалось и решило принимать выражение «А=B» как истинное, а тех, кто не согласен – предать анафеме и лечить в психиатрических больницах.

Легче всего понять социальные аксиомы. Вот вы покупаете бублики в магазине и отдаете за них деньги. Что такое деньги, по своей сути? Кусочки бумаги с напечатанными картинками и цифрами. Но весь мир условился считать, что такая бумага имеет ценность.

Это аксиома. Никто не требует доказательств. Каждый человек принимают этот факт как очевидный. В это верит покупатель бубликов, продавец, хозяин булочной, поставщики муки, иначе сделка бы не состоялась.

Аксиома действует в границах некоторой сферы, а за пределами – нет.

Вы взяли кошелек, набитый купюрами, и поехали в гости к приятелю из дикого племени Тумба-Юмба. Но никто не берет ваши деньги. Для туземцев – это просто бумажки, пригодные лишь для разжигания костра. Там в ходу бусы или зубы тигра, которые уже для вас не представляют интереса.

Аксиомы — это наследие далекого прошлого

Впервые термин использовал греческий философ Аристотель. Он называл аксиомой исходную предпосылку, фундамент, на котором держится доказательство.

Аристотель выделял 2 основные аксиомы:

Закон противоречия. Два высказывания, противоречащие друг другу, не могут быть одновременно истинными. Одно из них – ложное. Петя говорит, что яблоко стащил Коля. Коля указывает на Петю. Кто-то из них врет.
Закон исключенного третьего. Всякое суждение может быть либо истинным, либо ложным. Третьего – не дано.

Все эти положения очевидны и не нуждаются в доказательствах. Это правда, потому что правда.

Древнегреческий математик Евклид в работе «Начала» выделил утверждения, которые принимаются на веру без доказательств. Он разделял их на аксиомы и постулаты, но так и не объяснил, чем один термин отличается от другого.

В целом можно признать: аксиома и постулат – это синонимы.

В качестве примера приведу пятый постулат Евклида. Звучит довольно жутко: «если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов меньше 180°, то эти прямые при достаточном продолжении пересекаются, и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше 180°».

Не пугайтесь, значение этого постулата знакомо любому школьнику: «параллельные прямые не пересекаются». Нарисуем на бумаге две прямые линии параллельно друг другу. Если их продолжить, то они не сблизятся и не удалятся, и уж тем более не пересекутся.

Ученые предпринимали немало попыток представить это утверждение в виде теоремы, чтобы доказать или опровергнуть. Венгерский математик Янош Бойаи начал изучать пятый постулат и сошел с ума. Опровержение аксиом – опасная затея!

Мыслители выдвигали разные требования к аксиомам. Аристотель считал, что такое выражение должно быть общепринятым. Если половина людей считает, что А=В, а другая половина с ними не согласны, то речь идет скорее о гипотезе.

Рене Декарт полагал, что главные критерии аксиомы – это ясность и очевидность.

Выражение должно быть настолько понятным и бесспорным, что никому и в голову не придет сомневаться. Блез Паскаль говорил о недоказуемости.

Если утверждение в принципе возможно доказать — это не аксиома.

Аксиоматический метод

Это способ построения научной теории, когда в основу кладутся исходные положения, принимаемые без доказательств. Все дальнейшие умозаключения выводятся из них логическим путем.

Три этапа построения знания аксиоматическим способом:

Перечисление основных понятий и терминов. Определяется язык, на котором будет написана теория.
Выбор аксиом, которые лягут в основу теории.
Выведение новых утверждений логическим путем.

Чтобы было понятнее, создадим безумную систему аксиом на вымышленном языке. Исходные понятия: «сванс», «курм», равать (отношение между свансами и курмами).

Система аксиом:

для двух свансовов существует хотя бы один курм, который их равает;
два курма могут равать не более шести свансов;
не существует двух одинаковых курмов.

Дальше на основании этих выражений формируем и доказываем теорию.

Выбранный набор аксиом обязан соответствовать требованиям:

Непротиворечивость. Исходные положения не должны противоречить друг другу.
Независимость. Ни одна из аксиом не является логическим следствием другой.
Полнота. Теорию можно обосновать при помощи этого набора утверждений. Никакие дополнительные положения не требуются.